10. Conditional Heteroskedastic Model(2)

지난 시간에는 서로 다른 분산을 가지는 이분산성 시계열 모델을 다루는 가장 기본적인 모델인 ARCH 모델에 대해 알아보았다.

 

오늘인 ARCH 모델 이외에 또 다른 이분산성 모델에 대해 알아보려고 한다.

 

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Def 10.1. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity(GARCH) 모델은 $\sigma_t^2 = f(I_{t-1})$을 다음과 같이 정의하고 GARCH($m,n$)이라고 한다. $$ \sigma_t^2 = a_0 + \sum_{i=1}^m a_i \varepsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^n b_j \sigma_{t-j}^2,$$ $\text{where}~a>0,~a_i \ge 0,~b_j \ge 0,~\text{and}~\sum_{i=1}^{max(m,n)}(a_i + b_i) <1.$

일반적으로 ARCH($m$) 모델에서 lag 값 $m$은 큰 값을 필요로 하기 때문에 추정해야 하는 모수들도 그만큼 늘어난다.

 

반면 GARCH 모델을 사용할 땐 GARCH(1,1) 모델만으로 금융 시계열에 적합하기 때문에 좀 더 유용한 측면이 존재한다.

 

 다음과 같은 GARCH(1,1) 예시를 살펴보자.

 

$$ \sigma_t^2 = a_0 +  a_1 \varepsilon_{t-1}^2 +  b_1 \sigma_{t-1}^2, \tag{1}$$

 

$\text{where}~a>0,~a_1 \ge 0,~b_1 \ge 0,~\text{and}~a_1 + b_1 <1.$

 

이때 $\eta_t = \varepsilon_t^2 - \sigma_t^2$으로 정의하고 매우 작다고 가정해보자.

 

그러면 식 (1)을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

 

 

위의 식을 통해 알수 있는 점은 충격의 제곱값인 $\varepsilon_t^2$값을 근사적으로 ARMA(1,1) 모델로 표현할 수 있다는 것이다.

 

대부분의 GARCH 모델의 계수 $b_1$은 0.9로 표현된다.

 

이제 식 (1)의 GARCH(1,1) 모델을 이용해 변동성 예측을 해보자.

 

 

 

$$\vdots$$

 

다음을 특수한 GARCH 모델을 살펴보자.

 

Def 10.2. Integrated GARCH(1,1) 모델은 $\sigma_t^2 = f(I_{t-1})$을 다음과 같이 정의하고 IGARCH(1,1)이라고 한다. $$ \sigma_t^2 = a_ 0 + a_1 \varepsilon_{t-1}^2 + (1- a_1) \sigma_{t-1}^2,$$ $\text{where}~a_1+b_1=1.$

간단하게 $a_0=0$이라고 가정하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

 

위 식을 통해 $a_1$이 0에 가까울수록 $\varepsilon_{t-1}^2, \varepsilon_{t-2}^2, \cdots$의 영향이 크고, $a_1$이 1에 가까울수록 $\varepsilon_{t-1}^2$의 영향이 크다는 것을 알 수 있다.

 

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우리가 저번 포스팅에서 이야기 했던 수익률 데이터의 특징 중 하나가 바로 'leverage effect'였다.

 

leverage effect란 나쁜 정보가 좋은 정보보다 더 큰 영향을 끼친다는 현상을 의미한다.

 

지금부턴 이 leverage effect를 설명하는 이분산성 모델에 대해 알아보려고 한다.

 

Def 10.3. Exponential GARCH 모델은 $\sigma_t^2 = f(I_{t-1})$을 다음과 같이 특정하고 EGARCH(m,n)이라고 한다. $$h_t = a_0 + \sum_{i=1}^m (a_i z_{t-i} + \gamma_i(|z_{t-i}| - E[|z_{t-i}|]))+ \sum_{j=1}^n b_j h_{t-j},$$ $\text{where}~h_t = \ln \sigma_t^2.$

EGARCH 모델이 어떻게 leverage effect를 설명하는지 알아보기 위해 간단하게 다음과 같은 꼴의 EGARCH(1,1) 모델을 살펴보자.

 

$$h_t = a_0 + a_1 z_{t-1} + \gamma_1 (|z_{t-1}| - E[|z_{t-1}|])+ b_1 h_{t-1}. \tag{2}$$

 

$h_t - b_1 h_{t-1} = \ln (\sigma_t^2 / \sigma_{t-1}^{2b_1})$임과 표준정규분포 $z_t$에 대하여 $E[|z_t|] = \sqrt{2/\pi}$임을 이용하면 식 (2)를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

 

$$ \ln \left( \frac{ \sigma_t^2 }{ \sigma_{t-1}^{2b_1} } \right) = a_0 + a_1 z_{t-1} + \gamma_1 \left( |z_{t-1}| - \sqrt{ \frac{2}{\pi} } \right) .$$

 

위 식을 다시 $\sigma_t^2$에 대한 식으로 정리하면,

 

 

$\text{where}~a_0^* = a_0 - \gamma_1 \sqrt{2/\pi}.$

 

$a_1$이라면 나쁜 정보가 더 큰 영향을 끼친다는 것을 알 수 있다.

 

leverage effect를 설명하는 모델을 하나 더 알아보고 이번 포스팅을 마무리하자.

 

Def 10.4. Threshold GARCH 모델은 $\sigma_t^2 = f(I_{t-1})$을 다음과 같이 특정하고 TGARCH(m,n)이라고 한다. $$ \sigma_t^2 = a_0 + \sum_{i=1}^m (a_i \varepsilon_{t-1}^2 + \eta_i D_{t-i} \varepsilon_{t-i}^2) + \sum_{j=1}^n b_j \sigma_{t-j}^2,$$ $\text{where}~ D_{t-i}$ is the indicator equal to one for $\varepsilon_{t-i}<0$ and 0 otherwise.

TGARCH(m,n) 모델에서 $\varepsilon_{t-i}$이 임계점(threshold)값으로 설정된 0보다 큰지 작은지에 따라 조건부 분산 $\sigma_t^2$에 주는 영향은 다르다.

 

예를 들어 TGARCH(1,1) 모델에 대해서 조건부 분산 $\sigma_t^2$을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

 

$$\sigma_t^2 = a_ 0 + (a_1 + \eta_1 D_{t-1})\varepsilon_{t-1}^2 + b_1 \sigma_{t-1}^2.$$

 

좋은 정보($\varepsilon_{t-1} >0$)에 대해서 $\varepsilon_{t-1}^2$이 $\sigma_t^2$에 주는 영향은 $a_1 \varepsilon_{t-1}^2$이지만,

 

나쁜 정보($\varepsilon_{t-i}<0$)에 대해서 $\varepsilon_{t-1}^2$이 $\sigma_t^2$에 주는 영향은 $(a_1 + \eta_1) \varepsilon_{t-1}^2$이다.

 

위의 TGARCH 모델을 좀더 일반화한 모델은 다음과 같다.

 

Def 10.5. Glosten, Jagannathan, and Runkle의 GARCH 모델은 $\sigma_t^2 = f(I_{t-1})$을 다음과 같이 특정하고 GJRGARCH(m,n)이라고 한다. $$ \sigma_t^2 = a_0 + \sum_{i=1}^m (a_i \varepsilon_{t-1}^2 + \eta_i D_{t-i} \varepsilon_{t-i}^2) + \sum_{j=1}^n b_j \sigma_{t-j}^2,$$ $\text{where}~ D_{t-i}$ is the indicator equal to one for $\varepsilon_{t-i}< \mu$ and 0 for $\varepsilon_{t-i} \ge \mu$.

 

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오늘은 지난 시간에 이어서 이분산성을 표현하는 모델에 대해서 알아보았다.

 

지금까지 배운 내용을 바탕으로 다음 포스팅부터 본격적으로 Financial Time Series 카테고리의 목표인 Value at Risk에 대해 다룰 예정이다.

 

오늘은 여기까지.