16. Value at Risk(6)
지난 포스팅에서는 Extreme Value Theory(EVT)에 대해 간단하게 소개를 하였다.
이번 포스팅에서는 EVT를 이용해 VaR를 측정하는 방법 중 한가지인 Block Maxima에 대해 소개한다.
$T$개의 손실 시계열 데이터를 $\{ x_1, \cdots, x_T \}$라하자.
이때, $T = GN$이라고 할 때 우리는 이 데이터를 겹치치 않도록 다음과 같이 $G$개의 그룹으로 나눌 수 있다.
$$\{ x_1, \cdots , x_T \} = \{ x_1, \cdots, x_N | x_{N+1} , \cdots , x_{2N} | \cdots | x_{(G-1)N +1}, \cdots , x_{GN} \}.$$
만약 $T$가 $G$ 또는 $N$의 배수가 아니라면 마지막 그룹에 속해있는 데이터의 개수를 $N$개보다 줄인다.
위와 같이 나눈 데이터에서 $i$번째 그룹의 최댓값을 $x_{(N,i)}$라고 하고 이전에 배운 EVT 이론을 적용하면
$x_{(N,i)}^* = \frac{x_{(N,i)} - \mu}{\sigma}$이 GEV 분포를 따름을 알 수 있다.
위 방법을 통해 나온 $ \{ x_{(N,1)}^*, \cdots , x_{(N,G)}^* \}$는 같은 GEV 분포에서 나온 $G$개의 표본이라고 생각할 수 있고,
이 $G$개의 표본을 이용해 GEV 분포의 pdf에 필요한 3개의 모수ㅡ$\xi, \mu, \sigma$ㅡ를 추정한다.
이와 같이 주어진 데이터를 여러개의 블록으로 나누고, 각 블록에서 최댓값을 이용하여 분포를 추정하는 방법을 Block Maxima라고 한다.
지난 시간에 배운 GEV 분포의 pdf와 $x^* = (x - \mu)/\sigma$임을 이용하면
임을 알 수 있다.
Block Maxima 방법을 이용해 모수들을 추정할 때 주의해야 할 점이 있다.
우리에게 주어진 데이터의 개수는 일정하기 때문에 그룹의 개수 $G$, 또는 한 그룹에 속해있는 데이터의 개수 $N$을 어떻게 선택하느냐가 모수 추정에 많은 영향을 준다.
일반적으로 일일 데이터 기준으로 한 달간의 영업일인 21을 $N$의 개수로 설정한다.
이제 본격적으로 Block Maxima를 이용해 VaR을 측정해보자.
우리는
이고
$$ P(x_{(N,i)} \le ) = P \left( \frac{x_{(N,i)} - \mu}{\sigma} \le \frac{x - \mu}{\sigma} \right)$$
임을 알 수 있다.
이때 1-day VaR을 $VaR_{1-p}^*$라고 하고, $(1-p)$th quantile임을 이용하면
$$P( x_{(N,i)} \le VaR_{1-p}^* ) = [F(VaR_{1-p}^*)]^N = (1-p)^N$$
이고
$$ P( x_{(N,i)} \le VaR_{1-p}^* ) = P \left( \frac{ x_{(N,i)} - \mu}{\sigma} \le \frac{VaR_{1-p}^* - \mu}{\sigma} \right)$$
임을 알 수 있고, 이를 종합하면
$$(1-p)^N = P \left( \frac{ x_{(N,i)} - \mu}{\sigma} \le \frac{ VaR_{1-p}^* - \mu}{\sigma} \right)$$
라는 식을 얻을 수 있다.
위 식을 GEV cdf에 적용하면
이고, 이 식을 다시 $VaR_{1-p}^*$에 대해 정리하면
이 된다.
이제 위에서 Block Maxima 방법을 통해 추정한 모수값을 넣으면 된다.
그렇다면 $s$-period VaR은 어떻게 구할까?
과정은 다소 복잡하므로 결론만 소개하면
$$ s-\text{period}~VaR = s^{\xi} \times VaR_{1-p}^*$$
식을 이용해 구한다.
Block Maxima 방법에는 다음과 같은 단점이 있다.
(1) $G$ 또는 $N$의 선택에 대한 명확한 기준이 없다.
(2) 각 그룹에서 최댓값만 사용하기 때문에 가용 데이터가 줄어든다.
오늘은 EVT를 이용해 VaR 측정하는 방법 중 하나인 Block Maxima에 대해 소개하였다.
다음 포스팅에서는 위에서 설명한 Block Maxima의 단점을 보완한 방법이자 가장 세련(?)된 방법인 Peaks Over Threshold에 대해 소개한다.
오늘은 여기까지.