11. Value at Risk(1)
이제부터 본격적으로 Financial Time Series의 목표인 Value at Risk에 대해 다루려고 한다.
미래에 자산을 가지고 있는 기간에 따른 금융 포지션별 손실은 랜덤하게 발생하기 때문에 금융 리스크는 손실 확률 변수의 분포를 바탕으로 측정된다.
예를 들어, A 주를 한 주에 $50에 100주 샀다고 가정하자.
이러한 롱(매수) 포지션에서의 다음 날 손실은 $Y$를 다음날의 주가라고 했을 때 $X = 100(Y-50)$으로 결정된다.
이때 $Y$값은 지금은 모르기 때문에 다음날의 손실 $X$는 확률변수로 결정된다.
금융리스크는 크게 시장 위험, 신용 위험, 운영 위험으로 나눌 수 있다.
시장 위험이란 주가, 이자율, 환율 등의 변화로 인한 손실이 발생할 위험을 의미하고
신용 위험이란 채무자의 채무 불이행, 소비자의 신용 등급 하락, 유동성 등과 관련된 위험을 의미하고,
운영 위험이란 부적절한 기업 내부 절차, 사람과 시스템 등으로 인한 위험을 의미한다.
| Def 11.1 $x_{t+1 \rightarrow t+s}$를 $t$시점부터 다음 $s$ 기간 동안의 금융 포지션별 손실을 의미하는 $s$-기간 손실이라고 하자. 해당 포지션의 $s$-기간 Value at Risk(VaR)은 다음과 같이 정의된다. $$ VaR_{1-p} = \text{inf} \{ x_{t+1 \rightarrow t+s} | F(x_{t+1 \rightarrow t+s}| I_t) \ge 1-p \}, \tag{1}$$ $\text{where}~ F(x_{t+1 \rightarrow t+s}| I_t)$는 정보 집합 $I_t$에 대한 누적분포함수. |
위의 정의에 의해 $F(VaR_{1-p} |I_t ) = P(x_{t+1 \rightarrow t+s} \le VaR_{1-p} |I_t ) = 1-p$임을 알 수 있다.
즉 손실 $x_{t+1 \rightarrow t+s}$이 $VaR_{1-p}$보다 작거나 같을 확률이 $1-p$이고, 크거나 같을 확률이 $p$가 된다.
아래의 정의를 살펴보고 VaR이 어떤 의미를 갖는지 자세히 살펴보자.
| Def 11.2 누적분포함수 $F(x)$와 확률 $q$에 대해 $$x_q = \text{inf} \{ x| F(x) \ge q \}$$ 는 $F(x)$의 $q$-분위수, 또는 $(100 \times q)$번째 백분위수라고 한다. |
통계적 관점에서 식 (1)의 $s$-기간 $VaR_{1-p}$는 $s$-기간 손실 $x_{t+1 \rightarrow t+s}$의 $(1-p)$-분위수라고 생각할 수 있다.
즉 다음과 같은 두 식이 성립한다.
$$ \int_{-\infty}^{VaR_{1-p}} f(x_{t+1 \rightarrow t+s}|I_t ) dx_{t+1 \rightarrow t+s} = 1-p,$$
$$ \int_{VaR_{1-p}}^{\infty} f(x_{t+1 \rightarrow t+s}|I_t ) dx_{t+1 \rightarrow t+s} = p.$$
이제 VaR 계산을 하기 위한 초기작업에 대해 살펴보려고 한다.
시점 $(t+1)$부터 시점 $(t+s)$까지의 $s$-기간 로그 수익률을 $r_{t+1 \rightarrow t+s}$라고 하자.
롱(매수) 포지션일 경우 $r_{t+1 \rightarrow t+s}$이 음(negative)일 때 손실이 발생하고,
숏(매도) 포지션일 경우 $r_{t+1 \rightarrow t+s}$이 양(positive)일 때 손실이 발생한다.
위 사실을 종합하여 $\$$1 포지션에 대한 $s$-기간 손실 $x_{t+1 \rightarrow t+s}^*$은
실제 VaR 측정은 다음과 같은 단계를 거친다.
[Step 1] $\$$1에 대해 롱 포지션일 경우 $x_{t+1 \rightarrow t+s}^*$를 $-r_{t+1 \rightarrow t+s}$로, 숏 조피션일 경우 $r_{t+1 \rightarrow t+s}$로 설정하고, $I_t$에 대한 $x_{t+1 \rightarrow t+s}^*$의 조건부 확률 분포를 찾는다.
[Step 2] $\$$1 포지션에 대한 VaR, $VaR_{1-p}^*$를 계산한다.
[Step 3] $VaR_{1-p}^*$에 실제 포지션 만큼의 액수를 곱한다.
$x_{t+1 \rightarrow t+s}^*$가 다음과 같은 정규분포를 따른다고 가정해보자.
$$x_{t+1 \rightarrow t+s}^* |I_t \sim N(\mu, \sigma^2).$$
$VaR_{1-p}^*$는 $x_{t+1 \rightarrow t+s}^*$의 조건부 확률 분포의 $(1-p)$-분위수 이기 때문에 다음과 같음을 알 수 있다.
따라서 $z_{1-p}$를 표준정규분포의 $(1-p)$-분위수라고 하면
$$ \frac{VaR_{1-p}^* - \mu}{\sqrt{\sigma^2}} = z_{1-p}$$
또는
$$ VaR_{1-p}^* = \mu + z_{1-p} \sqrt{\sigma^2}.$$
위와 같이 VaR를 구할 수 있다.
VaR를 구하는 과정에서 우선 확률 $p$를 선택해야 하는데 리스크 관리 분야에선 주로 $p = 0.01$이 쓰인다.
또한 구간 길이 $s$는 시장 위험을 측정할 땐 주로 1일 또는 10일, 신용 위험을 측정할 땐 주로 1년 또는 5년이 채택된다.
마지막으로 시장 위험을 측정할 땐 주로 일일 데이터를 활용하고, 실용 위험을 측정할 땐 한 달 또는 한 분기 데이터를 사용한다.
이번에는 각 자산별 VaR이 아닌 각 자산에 분산투자를 한 포트폴리오의 VaR을 생각해보자.
$N$개의 종목들이 각각 $w_i~(i=1, \cdots,N)$의 가중치로 투자하고 있는 포트폴리오를 가정하자.
$VaR_{i,1-p}^*$를 $i$번째 종목의 $\$$1 포지션의 $s$-기간 VaR, $\rho_{ij}$를 $i$번째 종목과 $j$번째 종목의 상관계수라고 하자.
그렇다면 전체 포트폴리오의 $\$$1 포지션의 $s$-기간 Var, $VaR_{1-p}^*$는 다음과 같이 계산된다.
$$ VaR_{1-p}^* = \sqrt{ \sum_{i=1}^N (w_i VaR_{i,1-p}^*)^2 + 2 \sum_{i<j}^N \rho_{ij} (w_i VaR_{i,1-p}^*)(w_j VaR_{j,1-p}^*) }.$$
실제 포트폴리오 포지션의 VaR는 위 $Var_{1-p}^*$에 액수를 곱한 값으로 결정된다.
오늘은 Value at Risk의 정의와 통계학적 의미, 또 포트폴리오의 VaR을 계산하는 방법까지 알아보았다.
다음시간에는 또다른 위험 지표인 Expected Shortfall과 Value at Risk를 측정하는 다양한 방법에 대해 알아볼 예정이다.
오늘은 여기까지.